Question

18．过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）作x轴的垂线，与椭圆C在第一象限内交于点A，过A作直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的垂线，垂足为B，|AF|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，|AB|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为圆E：x²+y²=4上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线l₁、l₂，设l₁、l₂分别交圆E于点M、N，证明：MN为圆E的直径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：$\frac{b^2}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{a^2}{c}-c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P 的切线方程为y-y₀=k（x-x₀），代入椭圆方程，由△=0，求得$（1-\frac{1}{3}{x_0}^2）{k^2}+\frac{2}{3}{x_0}{y_0}k+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{y_0}^2=0$，则由韦达定理可知：${k_1}{k_2}=\frac{{1-{y_0}^2}}{{3-{x_0}^2}}=\frac{{1-{y_0}^2}}{{{y_0}^2-1}}=-1$，即l₁⊥l₂，∠MPN=90°，当l₁ 或l₂ 的斜率不存在时，必是${x_0}^2=3$ 或${y_0}^2=1$，$P（±\sqrt{3}，±1）$，此时一条切线与x 轴垂直，一条切线与x 轴平行，仍有l₁⊥l₂ 即∠MPN=90°．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：$\frac{b^2}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{a^2}{c}-c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…2分
∴$a=\sqrt{3}，b=1，c=\sqrt{2}$，
$\therefore$ 椭圆C 的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；…4分
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），当切线l₁，l₂ 的斜率均存在时，分别设为k₁，k₂，
设过点P 的切线方程为y-y₀=k（x-x₀），
与C的方程联立得$（\frac{1}{3}+{k^2}）{x^2}+2（{y_0}-k{x_0}）kx+{（{y_0}-k{x_0}）^2}-1=0$，
则$△=4{k^2}{（{y_0}-k{x_0}）^2}-4（{k^2}+\frac{1}{3}）[{（{y_0}-k{x_0}）^2}-1]=0$，…6分
即${k^2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{（{y_0}-k{x_0}）^2}=0$，整理得$（1-\frac{1}{3}{x_0}^2）{k^2}+\frac{2}{3}{x_0}{y_0}k+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{y_0}^2=0$，…8分
$\therefore$ ${k_1}{k_2}=\frac{{1-{y_0}^2}}{{3-{x_0}^2}}=\frac{{1-{y_0}^2}}{{{y_0}^2-1}}=-1$，即l₁⊥l₂，∠MPN=90°；…10分
当l₁ 或l₂ 的斜率不存在时，必是${x_0}^2=3$ 或${y_0}^2=1$，
又${x_0}^2+{y_0}^2=4$，
∴$P（±\sqrt{3}，±1）$，此时一条切线与x 轴垂直，一条切线与x 轴平行，仍有l₁⊥l₂ 即∠MPN=90°；…12分
综上，对任意点P，MN 为圆E 的直径．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．