Question

设．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）：
（2）讨论f^-1（x）在（1．+∞）上的单调性，并加以证明：
（3）令g（x）=1+log_ax，当[m，n]?（1，+∞）（m＜n）时，f^-1（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）令y=，解得
（2）设1＜x₁＜x₂，∵
∴0＜a＜1时，f^-1（x₁）＞f^-1（x₂），
∴f^-1（x）在（1．+∞）上是减函数：
a＞1时，f^-1（x₁）＜f^-1（x₂），
∴f^-1（x）在（1．+∞）上是增函数．
（3）当0＜a＜1时，∵f^-1（x）在（1．+∞）上是减函数，
∴，即有得，即ax²+（a-1）x+1=0，可知方程的两个根均大于1，故有，
当a＞1时，∵f^-1（x）在（1．+∞）上是增函数，
∴?a=-1（舍去）．
综上，得 ．
分析：（1）令y=，由求反函数的规则解出f^-1（x）．
（2）由（1），此是一个复合函数函数，外层函数的单调性要由底数a的取值范围确定，要分两类讨论，内层函数的单调性可由定义法证明，再由复合函数的单调性判断出函数的单调性即可．
（3）本题要按a的取值范围分两类求解，当0＜a＜1时，g（x）=1+log_ax是一个减函数，由（2）f^-1（x）在（1．+∞）上是减函数故可得从中解出a的取值范围，当a＞1时，同理可得，解出a的取值范围，再并起来即可得到符合条件的参数的取值范围．
点评：本题考查对数函数的综合运用，考查了反函数的求法，复合函数单调性的判断，利用单调性确定函数的最值，解题的关键是理解对数的单调性，利用单调性判断出最值，由最值得出方程，解出参数的取值范围，分类讨论得出函数的单调性是本题的重点，本题难点出现在第三小题，由，转化出，题后注意体会规律．