Question

12．已知圆O：x²+y²=1和定点A（2，1），由圆O外一点P向圆引切线PQ，且满足|PQ|=|PA|，若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，则圆P半径的最小值为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$-1
• B． 1
• C． 2
• D． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 由题意可得：|PQ|²=|PO|²-1=a²+b²-1，又PQ=PA，可得2a+b-3=0．因为以P为圆心所作的圆P和圆O有公共点，所以圆P与圆O外切时，可使圆P的半径最小．又因为PO=1+圆P的半径，所以当圆P的半径最小即为PO最小，即点O到直线2a+b-3=0的距离最小，进而解决问题．

解答 解：由题意可得：过圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，
所以|PQ|²=|PO|²-1=a²+b²-1．
又因为|PA|²=（a-2）²+（b-1）²，并且满足PQ=PA，
所以整理可得2a+b-3=0．
因为以P为圆心所作的圆P和圆O有公共点，
所以两圆相切或相交，
即圆P与圆O外切时，可使圆P的半径最小．
又因为PO=1+圆P的半径，
所以当圆P的半径最小即为PO最小，
即点O到直线2a+b-3=0的距离最小，并且距离的最小值为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
所以圆P的半径的最小值为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$-1．
故选：A．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系，以及两点之间的距离公式．