Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b²+c²=a²+bc，且2sin2

B

2

+2sin2

C

2

=1，则△ABC的形状是（　　）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等边三角形

D．钝角三角形

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosA，将第一个等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，利用二倍角的余弦函数公式化简第二个等式，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，利用特殊角的三角函数值求出B与C的度数，即可做出判断．

解答：解：∵b²+c²=a²+bc，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∵A为三角形的内角，
∴A=60°，
∵2sin²

B

2

+2sin²

C

2

=1-cosB+1-cosC=1，
∴cosB+cosC=cosB+cos（120°-B）=cosB-

1

2

cosB+

3

2

sinB=

1

2

cosB+

3

2

sinB=cos（B-60°）=1，
∴B-60°=0，即B=60°，
∴A=B=C=60°，
则△ABC为等边三角形．
故选C

点评：此题考查了余弦定理，三角形的形状判断，涉及的知识有：余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．