Question

已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C（t，

2

t

）（t∈R，t≠0）
（1）求证：△AOB的面积为定值；
（2）直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）根据圆的方程求出A，B的坐标即可证明△AOB的面积为定值；
（2）根据直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，结合|OM|=|ON|，建立条件关系即可，求圆C的方程；
（3）根据直线和圆相交以及点的对称性即可得到结论．

解答： （1）证明：由题设知，圆C的方程为（x-t）²+（y-

2

t

^）2=t²+

4

t2

，
化简得x²-2tx+y²-

4

t

y=0，
当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；
当x=0时，y=0或

4

t

，则B（0，

4

t

），
∴S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

|2t|•|

4

t

|=4为定值．                        
解：（2）∵|OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，
设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，
则直线OC的斜率k=

2 t

t

=

2

t2

=

1

2

，
∴t=2或t=-2．
∴圆心为C（2，1）或C（-2，-1），
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5，
由于当圆方程为（x+2）²+（y+1）²=5时，直线2x+y-4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
（3）点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），
则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圆上点Q的最短距离为
|B′C|-r=

(-6)2+32

-

5

=3

5

-

5

=2

5

．
故|PB|+|PQ|的最小值为2

5

，直线B′C的方程为y=

1

2

x，
则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（-

4

3

，-

2

3

）．

点评：本题主要考查直线和圆的方程的综合应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．