Question

已知奇函数y=f（x）定义域是[-4，4]，当-4≤x≤0时，y=f（x）=-x²-2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）设 0≤x≤4，则4≤-x≤0，由已知可得f（-x）=-x² +2x，再利用y=f（x）是奇函数可得，-f（x）=-x² +2x，从而求出函数在0≤x≤4 时的解析式，即可得到函数在[-4，4]上的解析式．
（2）画出函数f（x）的图象，结合图象可得函数的最值，从而求出函数的值域．
（3）结合图象可得函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）设 0≤x≤4，则4≤-x≤0，由于当-4≤x≤0时，y=f（x）=-x²-2x，
故f（-x）=-x² +2x．
再由函数y=f（x）是奇函数可得，-f（x）=-x² +2x，故 f（x）=x² -2x．
故函数f（x）的解析式为 f（x）=

-x2-2x ，  -4≤x≤0 x2 -2x ，   0＜x≤4

．
（2）画出函数f（x）的图象，结合图象可得，当x=-4时，函数f（x）取得最小值为-8，
当x=4时，函数f（x）取得最大值为8，故函数的值域为[-8，8]．

（3）结合图象可得，函数f（x）的单调递增区间为[-4，-1]、[1，4]．

点评：本题主要考求查函数的解析式的方法，求函数的单调性及单调区间，求函数的最值，函数的奇偶性的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．