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△ABC中三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足:sin2A-cos2A=
12
,比较b+c与2a的大小.
分析:解法一:利用sin2A-cos2A=
1
2
,求出A,分类讨论,利用正弦定理,化边为角,即可得到结论;
解法二:利用sin2A-cos2A=
1
2
,求出A,分类讨论,利用余弦定理,化角为边,即可得到结论.
解答:(解法一)由题设得cos2A=-
1
2
,又0<2A<2π,所以2A=
3
3

所以A=
π
3
A=
3
…(4分)
(1)当A=
π
3
时,设B=
π
3
+α,C=
π
3
-α(-
π
3
<α<
π
3
)

则由正弦定理得
b+c
2a
=
sinB+sinC
2sinA
=
sin(
π
3
+α)+sin(
π
3
-α)
2sin
π
3
=
2sin
π
3
cosα
2sin
π
3
=cosα≤1

所以b+c≤2a(A=B=C=
π
3
时取等号)                   …(8分)
(2)当A=
3
B=
π
6
+α,C=
π
6
-α(-
π
6
<α<
π
6
)

则由正弦定理得
b+c
2a
=
sinB+sinC
2sinA
=
sin(
π
6
+α)+sin(
π
6
-α)
2sin
3
=
2sin
π
6
cosα
2sin
3
=
1
3
cosα<1

所以b+c<2a
综上,当△ABC为等边三角形时,b+c=2a;当△ABC为非等边三角形时,b+c<2a…(12分)
(解法二)由题设得cos2A=-
1
2
,又0<2A<2π,所以2A=
3
3

所以A=
π
3
A=
3
…(4分)
(1)当A=
π
3
时,由余弦定理得a2=b2+c2-ac,
因为4a2-(b+c)2=4(b2+c2-bc)-(b2+c2+2bc)=3(b-c)2≥0
所以b+c≤2a(当a=b=c时取等号)                      …(8分)
(2)当A=
3
由余弦定理得a2=b2+c2+ac
因为4a2-(b+c)2=4(b2+c2+bc)-(b2+c2+2bc)=3b2+3c2+2bc>0
所以b+c<2a
综上,当△ABC为等边三角形时,b+c=2a;当△ABC为非等边三角形时,b+c<2a…(12分)
点评:本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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4
6
4
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.
ba
cb
.
=0
,且角A=
π
3
,则
bsinB
c
=
3
2
3
2

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