Question

设F₁，F₂分别是椭圆E：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F₁的直线与E相交于A、B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列
（Ⅰ）求△ABF₂的周长；
（Ⅱ）求|AB|的长；
（Ⅲ）若直线的斜率为1，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）F₁，F₂分别是椭圆E：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左、右焦点，可以推出a=1，推出|AF₂|+|A B|+|BF₂|=4a，从而求出△ABF₂的周长；
（Ⅱ）因为|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，可得|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，又|AF₂|+|A B|+|BF₂|=4，求出|AB|的长；
（Ⅲ）已知L的方程式为y=x+c，其中c=

1-b2

，联立直线和椭圆的方程，设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，求出b的值．

解答：解：（Ⅰ）因为椭圆E：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F₁的直线与E相交于A、B两点，
由椭圆定义知|AF₂|+|A B|+|BF₂|=4a
已知a=1
∴△ABF₂的周长为4…3分
（Ⅱ） 由已知|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列
∴|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，又|AF₂|+|A B|+|BF₂|=4
故3|AB|=4，解得|AB|=

4

3

….6分
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B两点坐标满足方程，

y=x+c x2+ y2 b2 =1

，化简得，（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0，
则x₁+x₂=

-2c

1+b2

，x₁x₂=

1-2b2

1+b2

，
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|=

2

|x₂-x₁|，
即

4

3

=

2

|x₂-x₁|，
则

8

9

=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

4(1-b2)

(1+b2)2

=

8b4

1+b2

，
解得b=

2

2

；…12分

点评：此题主要考查椭圆的定义及其应用，把等差数列作为载体进行出题，考查圆锥曲线，是一种创新，此题是一道综合题；