【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆,为椭圆上任意一点,过点的直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点.
(i)求的值;
(ⅱ)求面积的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)2;(ⅱ).
【解析】
试题(Ⅰ)根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定的值,从而得到椭圆的方程;(Ⅱ)(i)设,,由题意知,然后利用这两点分别在两上椭圆上确定的值; (ⅱ)设,利用方程组结合韦达定理求出弦长,选将的面积表示成关于的表达式,然后,令,利用一元二次方程根的判别式确定的范围,从而求出的面积的最大值,并结合(i)的结果求出面积的最大值.
试题解析:(Ⅰ)由题意知,则,又可得,
所以椭圆C的标准方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的方程为,
(i)设,,由题意知因为,
又,即,所以,即.
(ⅱ)设
将代入椭圆E的方程,
可得
由,可得①
则有
所以
因为直线与轴交点的坐标为
所以的面积
令,将代入椭圆C的方程可得
由,可得②
由①②可知
因此,故
当且仅当,即时取得最大值
由(i)知,面积为,所以面积的最大值为.
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【题目】空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=a,BC=b,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于E、F、G、H,则截面EFGH面积的最大值为_____.
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【题目】已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥中:
(I)证明:平面平面;
(Ⅱ)若点在棱上运动,当直线与平面所成的角最大时,求二面角的余弦值.
图一
图二
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【题目】设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B. 已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l: 与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点) ,求k的值.
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【题目】某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐,为了解通话时长,采用随机抽样的方法,得到该校100位班主任每人的月平均通话时长(单位:分钟)的数据,其频率分布直方图如图所示,将频率视为概率.
(1)求图中的值;
(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数;
(3)在,这两组中采用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求抽取的2人恰在同一组的概率.
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【题目】若存在实数使得则称是区间的一内点.
(1)求证:的充要条件是存在使得是区间的一内点;
(2)若实数满足:求证:存在,使得是区间的一内点;
(3)给定实数,若对于任意区间,是区间的一内点,是区间的一内点,且不等式和不等式对于任意都恒成立,求证:
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