Question

【题目】已知命题p：x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间 上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，

等价于a≥ x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，

而函数g（x）= x2﹣x在x∈[2，4]递增，

其最大值是g（4）=4，

∴a≥4，

若p为真命题，则a≥4；

f（x）=x2﹣ax+1在区间 上是增函数，

对称轴x= ≤ ，∴a≤1，

若q为真命题，则a≤1；

由题意知p、q一真一假，

当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，

所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．

【解析】根据函数恒成立问题求出p为真时a的取值范围，由二次函数的性质可求出q为真时a的取值范围，从而可判断p、q一真一假时a的取值范围。
【考点精析】本题主要考查了复合命题的真假的相关知识点，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真才能正确解答此题．