Question

在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，AB=AQ=

1

2

DP．
（1）求证：PQ⊥平面DCQ；
（2）若AQ=2，求四面体C-BDQ的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用线面垂直的性质可得CD⊥PQ，作QE⊥DP，E为垂足，则四边形ADEQ是正方形，利用勾股定理的逆定理可得DQ⊥QP，再利用三垂线定理即可证明；
（2）四面体C-BDQ的体积=四面体Q-BCD的体积．

解答： 解：（1）∵CD⊥平面ADPQ，
∴CD⊥PQ，
作QE⊥DP，E为垂足，则四边形ADEQ是正方形，
不妨设AB=1，则DE=1，DQ=

2

，
又DP=2AB=2，∴E是DP的中点，EP=1，
∴PQ=

2

，
∴DQ²+PQ²=DP²，
∴DQ⊥PQ．
∴PQ⊥平面DCQ．
（2）∵CD⊥平面ADPQ，
∴AQ⊥CD又AQ⊥AD，
∴AQ⊥平面ABCD，
∴VC-BDQ=VQ-BCD=

1

3

S△BCD•AQ=

1

3

×

1

2

×22×2=

4

3

．
∴四面体C-BDQ的体积为

4

3

．

点评：本题考查了线面垂直的性质、正方形的判定与性质、勾股定理的逆定理、三垂线定理、四面体的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．