Question

6．在△ABC中，
（1）求证：a：b：c=sinA：sinB：sinC
（2）若a：b：c=3：5：7，求sinA+sinB+sinC．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，由AD=csinB=bsinC，可得b：c=sinB：sinC，同理可得：a：b=sinA：sinB，即可得证．
（2）设a=3x，则b=5x，c=7x，由余弦定理得cosC=$\frac{1}{2}$，可得$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由正弦定理可得sinA+sinB+sinC=$（\frac{3}{7}+\frac{5}{7}+1）sinC=\frac{{15\sqrt{3}}}{14}$．

解答 解：（1）证明：如图作AD⊥BC于D，
则AD=csinB=bsinC，
∴b：c=sinB：sinC，
同理：a：b=sinA：sinB，
∴a：b：c=sinA：sinB：sinC．
（2）解：设a=3x，则b=5x，c=7x，
由余弦定理得 $cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{-15{x^2}}}{{30{x^2}}}=-\frac{1}{2}$，
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴sinA+sinB+sinC=$（\frac{3}{7}+\frac{5}{7}+1）sinC=\frac{{15\sqrt{3}}}{14}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．