Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求三棱锥C-BEP的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AF∥平面PCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面PCE内一直线平行，取PC的中点G，连接FG、EG，AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，满足定理条件；
（Ⅱ）欲证平面PCE⊥平面PCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面PCE内一直线与平面PCD垂直，而根据题意可得EG⊥平面PCD；
（Ⅲ）三棱锥C-BEP的体积可转化成三棱锥P-BCE的体积，而PA⊥底面ABCD，从而PA即为三棱锥P-BCE的高，根据三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答：解：证明：（Ⅰ）取PC的中点G，
连接FG、EG
∴FG为△CDP的中位线
∴FG

∥ .

.

1

2

CD
∵四边形ABCD为矩形，
E为AB的中点
∴AE

∥ .

.

1

2

CD
∴FG

∥ .

.

AE
∴四边形AEGF是平行四边形（2分）
∴AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE
∴AF∥平面PCE（4分）

（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，
又AD⊥CD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面ADP又AF?平面ADP，
∴CD⊥AF
在RT△PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形，
∴PA=AD=2（6分）
∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CD∩PD=D
∴AF⊥平面PCD
∵AF∥EG，
∴EG⊥平面PCD，又EG?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD（8分）

（Ⅲ）PA⊥底面ABCD
在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，（10分）
∴三棱锥C-BEP的体积
V_C-BEP=V_P-BCE=

1

3

S△BCE•PA=

1

3

•

1

2

•BE•BC•PA=

1

3

•

1

2

•1•2•2=

2

3

（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定和三棱锥的体积，属于中档题．