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多向飞碟是奥运会的竞赛项目,它是由抛靶机把碟靶(射击的目标)在一定范围内从不同的方向飞出,每抛出一个碟靶,就允许运动员射击两次,直到击中为止.一运动员在进行训练时,每一次射击命中碟靶的概率P与运动员离碟靶的距离S(米)成反比,现有一碟靶抛出的距离S(米)与飞行时间t(秒)满足S=15(t+1),(0≤t≤4).假设运动员在碟靶飞出后0.5秒进行第一次射击,且命中的概率为0.8,如果他发现没有命中,则通过迅速调整,在第一次射击后经过0.5秒进行第二次射击.
理科:(1)设该运动员命中碟靶的次数为ξ,求ξ的分布列;(2)求Eξ和Dξ.
文科:求该运动员命中碟靶的概率.
分析:【理科】(1)设P=
k
S
(常数k>0),则P=
k
15(t+1)
,当t=0.5秒时,P1=0.8,代入上式得k=18,P=
6
5(t+1)
,当t=1秒时,P2=0.6.故P=P1+(1-P1)×P2=0.92.ξ可能取值为0,1,由此能求出该运动员命中碟靶的次数ξ的分布列.
(2)由ξ的分布列能求出Eξ和Dξ.
【文科】设P=
k
S
(常数k>0),则P=
k
15(t+1)
,当t=0.5秒时,P1=0.8,代入上式得k=18,故P=
6
5(t+1)
,当t=1秒时,P2=0.6.由此能求出该运动员命中碟靶的概率.
解答:【理科】(1)设P=
k
S
(常数k>0),
则P=
k
15(t+1)
,…(2分)
当t=0.5秒时,P1=0.8,代入上式得k=18,
∴P=
18
15(t+1)
=
6
5(t+1)

∴当t=1秒时,P2=0.6,…(4分)
因此 P=P1+(1-P1)×P2=0.8+(1-0.8)×0.6=0.92.…(6分)
ξ可能取值为0,1,
由题意P(ξ=0)=0.2×0.4=0.08,
P(ξ=1)=0.8+0.2×0.6=0.92.…(9分)
那么ξ的分布列为
ξ 0 1
P 0.08 0.92
…(10分)
(2)Eξ=0×0.08+1×0.92=0.92,
Dξ=(0-0.92)2×0.08+(1-0.92)2×0.92=0.0736.…(12分)
【文科】设P=
k
S
(常数k>0),
则P=
k
15(t+1)
,…(3分)
当t=0.5秒时,P1=0.8,
代入上式得k=18,…(5分)
∴P=
18
15(t+1)
=
6
5(t+1)

∴当t=1秒时,P2=0.6.…(9分)
因此 P=P1+(1-P1)×P2=0.8+(1-0.8)×0.6=0.92.…(12分)
点评:本题考查概率的求法,考查离散型分布列的求法和数学期望的计算,解题时要认真审题,仔细解答,注意排列组合知识的灵活运用.
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理科:(1)设该运动员命中碟靶的次数为ξ,求ξ的分布列;(2)求Eξ和Dξ.
文科:求该运动员命中碟靶的概率.

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