Question

8．已知函数f（x）=x³+ax²+bx的图象在x=1处取得极值4．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对于函数y=g（x），若存在两个不相等的正数s，t（s＜t），当s≤x≤t时，函数y=g（x）的值域是[s，t]，则把区间[s，t]叫函数y=g（x）的“正保值区间“．函数y=f（x）是否存在“正保值区间“？若存在，求出所有的“正保值区间“；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对f（x）进行求导，根据f（x）的图象与直线y=4相切于M（1，4），可得f′（1）=0和f（1）=0，求出f（x）的解析式，再求其最值；
（2）根据函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上分两种情况，若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调增；若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调减，从而进行判断．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，（1分）
依题意则有：$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f（1）=4}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{3+2a+b=0}\\{1+a+b=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=9}\end{array}\right.$（2分）
∴f（x）=x³-6x²+9x
令f′（x）=3x²-12x+9=0，解得x=1或x=3，（3分）
当x变化时，f′（x），f（x）在区间（0，4]上的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增↗	4	单调递减↘	0	单调递增↗	4

（2）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上； （5分）
①若极值点x=1在区间[s，t]，此时0＜s≤1≤t＜3，在此区间上f（x）的最大值是4，不可能等于t；
故在区间[s，t]上没有极值点；                                   （7分）
②若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调增，即0＜s＜t≤1或3＜s＜t，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=s}\\{f（t）=t}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{s}^{3}-{6s}^{2}+9s=s}\\{{t}^{3}-{6t}^{2}+9t=t}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{s=2或s=4}\\{t=4或t=2}\end{array}\right.$，不合要求；             （10分）
③若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上单调减，即1＜s＜t＜3，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=t}\\{f（t）=s}\end{array}\right.$，
两式相减并除s-t得：（s+t）²-6（s+t）-st+10=0，①
两式相除可得[s（s-3）]²=[t（t-3）]²，即s（3-s）=t（3-t），整理并除以s-t得：s+t=3，②
由①、②可得：$\left\{\begin{array}{l}{s+t=3}\\{st=1}\end{array}\right.$，即s，t是方程x²-3x+1=0的两根，
即存在s=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，t=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$不合要求．（13分）
综上可得不存在满足条件的s、t．

点评 题主要考查利用导数求函数的单调区间及极值，是一道综合性比较强，第二问难度比较大，存在性问题，假设存在求出s，t，计算时要仔细．