Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点为F₁、F₂，点P为椭圆上一点，△F₁PF₂的重心、内心分别为G、I，若

IG

=λ(1，0)(λ≠0)，则椭圆的离心率e等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  1

  4

• D．

  5 -1

  2

Answer 1

分析：在焦点△F₁PF₂中，设P（x₀，y₀），由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为

IG

=λ(1，0)(λ≠0)，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F₁PF₂的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率

解答：解：设P（x₀，y₀），∵G为△F₁PF₂的重心，
∴G点坐标为 G（

x0

3

，

y0

3

），
∵

IG

=λ(1，0)(λ≠0)，∴IG∥x轴，
∴I的纵坐标为

y0

3

，
在焦点△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴S△F1PF2=

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|
又∵I为△F₁PF₂的内心，∴I的纵坐标

y0

3

即为内切圆半径，
内心I把△F₁PF₂分为三个底分别为△F₁PF₂的三边，高为内切圆半径的小三角形
∴S△F1PF2=

1

2

（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|

y0

3

|
∴

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|=

1

2

（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|

y0

3

|
即

1

2

×2c•|y₀|=

1

2

（2a+2c）|

y0

3

|，
∴2c=a，
∴椭圆C的离心率e=

c

a

=

1

2

故选A

点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法．解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的有关数值的关系以及结合椭圆的形状和几何意义两次表达三角形的面积．