Question

设集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^*，记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P_n②若x∈A，则2x∉A③若x∈C_PnA，则2x∉C_PnA，则f（4）=

4

．

Answer 1

分析：由题意得P₄={1，2，3，4}，根据题中的3个条件，可得A的元素满足条件：元素“1”与“4”必须同时属于A，或同时不属于A；元素“2”不能与“1”或“4”同时属于A，或同时不属于A；元素“3”可以属于A也可以不属于A．由此加以分类，可得本题答案．

解答：解：当n=4时，得P₄={1，2，3，4}，
①若1∈A，则2∉A，即2∈C_P4A，可得4∉C_P4A，即4∈A，
可得含有元素“1”的集合为A={1，4}或A={1，3，4}；
②若1∉A，即1∈C_P4A，可得2∉C_P4A，即2∈A，同时4∉A，
可得不含有元素“1”的集合为A={2}或A={2，3}．
综上所述，同时满足3个条件的集合A为{1，4}、{1，3，4}、{2}或{2，3}，共4个．
由此可得f（4）=4
故答案为：4

点评：本题给出实际问题，求满足条件的集合的个数．考查了确定集合的元素的知识点，属于中档题．其中分类讨论、确定元素的逻辑关系，然后列举满足条件的集合A是解答的关键．