Question

19．设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），S_n为数列{a_n}的前n项和，已知$\frac{1}{3}$S₃与$\frac{1}{4}$S₄的等比中项为$\frac{1}{5}$S₅，等差中项为1，若数列{a_n}的项a₃，a₄，a_k恰好构成等比数列{b_n}的前三项，求k的值及等比数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 利用$\frac{1}{3}$S₃与$\frac{1}{4}$S₄的等比中项为1，等差中项为1，求出d=-$\frac{12}{5}$，a₁=4，可得数列{a_n}的通项，利用数列{a_n}的项a₃，a₄，a_k恰好构成等比数列{b_n}的前三项，求出k的值及等比数列{b_n}的通项公式．

解答 解：∵$\frac{1}{3}$S₃与$\frac{1}{4}$S₄的等比中项为1，等差中项为1，
∴$\frac{1}{3}$S₃•$\frac{1}{4}$S₄=（$\frac{1}{5}$S₅）²，$\frac{1}{3}$S₃+$\frac{1}{4}$S₄=2
∴$\frac{1}{12}$（3a₁+3d）（4a₁+6d）=$\frac{1}{25}$（5a₁+10d）²，4（3a₁+3d）+3（4a₁+6d）=24，
∵d≠0，∴d=-$\frac{12}{5}$，a₁=4，
∴a_n=$\frac{32}{5}$-$\frac{12}{5}$n
∵数列{a_n}的项a₃，a₄，a_k恰好构成等比数列{b_n}的前三项，
∴a₄²=a₃a_k，解得k=8，
∴b₁=-$\frac{4}{5}$，q=-$\frac{4}{5}$，
∴b_n=$（-\frac{4}{5}）^{n}$．

点评 本题考查等差数列、等比数列的性质，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．