Question

已知函数y=f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-2x-3，则当方程f（x）=k有三个不等实根时，k的取值范围是（　　）

A．（-4，-3]∪[3，4）

B．[-4，-3）∪（3，4]

C．[-4，-3]∪[3，4]

D．（-4，-3）∪（3，4）

Answer 1

分析：令x＜0，则-x＞0，由x＞0时，f（x）=x²-2x-3，可求得f（-x），而f（x）为定义在R上的奇函数，从而可求得x＜0时的解析式，再用分段函数表示函数f（x）的解析式画出图象，结合图象观察交点情况即可．

解答：解：令x＜0，则-x＞0，
∵x＞0时，f（x）=x²-2x-3，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3，
又f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）=x²+2x-3，
∴f（x）=-x²-2x+3（x＜0）．
∴f（x）=

x2-2x-3，x＞0 -x2-2x+3，x＜0

．其图象如图：
从图中可以得出，当方程f（x）=k有三个不等实根时，k的取值范围是（-4，-3）∪（3，4），
故选D．

点评：本题考查函数奇偶性的性质与函数的图象，求得x＜0时的解析式是关键，考查运算与作图能力，属于基础题．