Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（4，0）和点B（6，2），且圆C总被直线x+2y-6=0平分其面积，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆C相交于不同的两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得向量

OM

+

ON

与

PC

共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据弦的垂直平分线经过圆心，以及圆C总被直线x+2y-6=0平分其面积即直线过圆心，联立两直线求出圆心，再求出半径即可；
（Ⅱ）由直线y=kx+2与圆相交，得圆心C到直线的距离小于半径，建立关系式，可求得k的取值范围；
（Ⅲ） 设出M，N的坐标，用条件向量

OM

+

ON

与

PC

共线可得解得，由（Ⅱ）知，故没有符合题意的常数k．

解答：解：（Ⅰ）AB的中垂线方程为y=x-4…（1分）   
联立方程

y=x-4 x+2y-6=0

解得

x=6 y=0

即圆心坐标（6，0）…（1分）
半径为（4，0）与（6，0）的距离即2
故圆的方程为（x-6）²+y²=4…（3分）
（Ⅱ）由直线y=kx+2与圆相交，得圆心C到直线的距离小于半径
∴

|kx+2|

1+k2

＜2⇒-

3

4

＜k＜0…（7分）
（Ⅲ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

OM

+

ON

=(x1+x2，y1+y2)，

PC

=(6，-2)
因为

OM

+

ON

与

PC

共线，
所以6(y1+y2)+2(x1+x2)=0⇒(3k+1)(x1+x2)+12=0⇒k=-

3

4

由第（Ⅱ）问可知，直线不存在．

点评：本题考查直线和圆相交的性质，以及向量在几何中的应用，如何应用条件向量

OM

+

ON

与

PC

共线，是解决问题的关键，属于中档题．