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精英家教网如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.
(1)求证:CM∥平面PAD;
(2)点C到平面PAD的距离.
分析:(1)建如图所示的空间直角坐标系C-xyz,求出∴
DP
DA
CM
  的坐标,求出平面PAD的法向量
n
 的
坐标,因为
n
CM
=0,故 
n
CM
,又因为 CM不在平面PAD内,可得CM∥平面PAD. 
 (2)由上面得
BE
⊥平面PAD,故
BE
 是平面PAD的法向量,可得平面PAD的单位法向量
n0
=
BE
|
BE
|
 的坐标,
由点C到平面PAD的距离为 d=|
n0
CD
|求出点C到平面PAD的距离.
解答:解:以点C为空间直角坐标系的坐标原点,CB为x轴,CD为y轴,CP为z轴建如图所示的空间直角坐标系C-xyz,
(1)证明:∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD成的角,∴∠PBC=30°.
∵PC=2,∴BC=2
3
,PB=4,∴D(0,1,0),B (2
3
,0,0),A(2
3
,4,0),P(0,0,2),
M(
3
2
,0
3
2
 ).∴
DP
=(0,-1,2),
DA
=(2
3
,3,0),
CM
=(
3
2
,0,
3
2
  ). 
设平面PAD的法向量为
n
=(x,y,1),由
n
DP
=0,且
n
DA
=0 可得 x=-
3
,y=2,
n
=(-
3
,2,1).  又因为
n
CM
=(-
3
,2,1)•(
3
2
,0,
3
2
  )=0,
n
CM
,又因为 CM不在平面PAD内,∴CM∥平面PAD.
取AP的中点E,则 E(
3
,2,1),
BE
=(-
3
,2,1)因为PB=AB,∴
BE
AP

又因为
BE
DA
=(-
3
,2,1)•(2
3
,3,0)=0,∴
BE
DA
,∴
BE
⊥平面PAD;
∴BE平面PAD,又因为 BE?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)由上面得
BE
⊥平面PAD,∴
BE
 是平面PAD的法向量,
∴平面PAD的单位法向量为
n0
=
BE
|
BE
|
=
(-3 ,2,1)
2
2
,又因为
CD
=(0,1,0),
∴点C到平面PAD的距离为 d=|
n0
CD
|=|
(-3 ,2,1)
2
2
•(0,1,0)|=
2
2
点评:本题考查用向量证明线面平行和线面垂直,利用向量求点到平面的距离,准确求出各个点,和有关向量的坐标,
是阶梯的关键和难点.
练习册系列答案
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求证:
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(I)求证:M为PD的中点;
(II)求二面角A-BM-C的大小.

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