Question

已知函数，当x=1时，函数y=f（x）取得极小值．
（1）求a的值；
（2）证明：若，则．

Answer 1

解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．
．
∵x=1时函数y=f（x）取得极小值，
∴f′（1）=0，得a=1．
当a=1时，在（0，1）内f′（x）＜0，在（1，+∞）内f′（x）＞0，
∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．
故a=1．
（2）证明：f（x）-x等价于：f（x）+x．
令g（x）=f（x）+x，则，
令h（x）=x²+x-1，
∵h（0）=-1＜0，h（）=＜0，
∴时，h（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，）上单调递减．
∴g（x），即g（x）＞2-ln2+=，
∴f（x）+x，
故f（x）．
分析：（1）因为当x=1时，函数y=f（x）取得极小值，所以f′（1）=0，从而求出a值，再验证x=1是否极值点即可．
（2）当时，?f（x）+x＞?，利用导数求出f（x）+x的最小值即可．
点评：本题考查了利用导数研究函数的极值及极值概念，注意转化思想在本题中的运用．