Question

设函数f(x)=

a

3

x3+bx2+cx(a，b，c∈R，a≠0)．
（1）若函数f（x）为奇函数，求b的值；
（2）在（1）的条件下，若a=-3，函数f（x）在[-2，2]上的值域为[-2，2]，求f（x）的零点；
（3）若不等式axf'（x）≤f（x）+1恒成立，求a+b+c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），解之可得b=0；
（2）可得f（x）=-x³+cx，f′（x）=-3x²+c，结合导数的正负对函数单调性的影响，分c≤0，和c＞0，两类进行讨论可得答案；
（3）推理可得

a

3

-a2=0，∴a=

1

3

，此时F(x)=

b

3

x2+

2c

3

x+1≥0恒成立等价于：1⁰．b=c=0或者2⁰.

b＞0 △≤0

⇒c2≤3b，分别求解a+b+c的取值范围，综合可得．

解答：解：（1）∵函数f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），解得b=0．                        …（2分）
（2）由（1）可知f（x）=-x³+cx，∴f′（x）=-3x²+c．
①若c≤0，则f′（x）≤0恒成立，则f（x）单调递减，
又函数f（x）在[-2，2]上的值域为[-2，2]，∴

f(-2)=2 f(2)=-2

，此方程无解．…（4分）
②若c＞0，则f′(x)=0⇒x=±

c 3

（ⅰ）若

c 3

＞2，即c＞12时，函数f（x）在[-2，2]上单调递增，∴

f(2)=2 f(-2)=-2

，此方程组无解；                               …（6分）
（ⅱ）

c 3

≤2≤2

c 3

时，即3≤c≤12时，∴

f( c 3 )=2 f(- c 3 )=-2

，所以c=3；…（8分）
（ⅲ）2＞2

c 3

时，即c＜3时，∴

f(2)=-2 f(-2)=2

，此方程组无解．
综上可得c=3，∴f（x）=-x³+3x的零点为：x1=0，x2=-

3

，x3=

3

．              …（10分）
（3）由题设得(

a

3

-a2)x3+(b-2ab)x2+(c-ac)x+1≥0恒成立．
记F(x)=(

a

3

-a2)x3+(b-2ab)x2+(c-ac)x+1，
若

a

3

-a2≠0，则三次函数F（x）至少有一个零点x₀，且在x₀左右两侧异号，
所以原不等式不能恒成立；
所以

a

3

-a2=0，∴a=

1

3

，此时F(x)=

b

3

x2+

2c

3

x+1≥0恒成立等价于：1⁰．b=c=0或者2⁰.

b＞0 △≤0

⇒c2≤3b
在1⁰中a+b+c=

1

3

在2⁰中a+b+c=

1

3

+b+c=t，所以c²≤3t-3c-1⇒3t≥c²+3c+1，∴3t≥(c2+3c+1)min=-

5

4

综上a+b+c的取值范围是[-

5

12

，+∞)．                        …（16分）

点评：本题考查函数的奇偶性，和函数的恒成立问题，属中档题．