Question

11．在△ABC中，∠C=90°，且|$\overrightarrow{CA}$|=2，|$\overrightarrow{CB}$|=3，点M满足$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=0，再利用两个向量的加减法的法则以及其几何意义求得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$=$\frac{{\overrightarrow{CB}}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3}$•$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，从而求得结果．

解答 解：△ABC中，∵∠C=90°，且|$\overrightarrow{CA}$|=2，|$\overrightarrow{CB}$|=3，点M满足$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$，∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=0，
则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BM}$）•$\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}$•$\overrightarrow{BA}$）•$\overrightarrow{CB}$=[$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}$•（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$）]•$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{\overrightarrow{CB}}{3}$+$\frac{2\overrightarrow{CA}}{3}$）•$\overrightarrow{CB}$=$\frac{{\overrightarrow{CB}}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3}$•$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$ 
=$\frac{1}{3}$•3²=0=3，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．