Question

若任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＞

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，则称f（x）是[a，b]上的凸函数，则下列函数中，是凸函数的为（　　）

• A．y=sinx，x∈[-

  π

  2

  ，0]
• B．y=2-x²，x∈[0，2]
• C．y=x²-x，x∈[-2，1]
• D．y=x²，x∈[0，2]

Answer 1

分析：题中的代数式的几何意义是：函数在区间[a，b]上的图象是上凸的．因此根据这个几何意义，分别结合各个选项的相应区间上的图象加以判断，不难选出正确答案．

解答：解：f（x）是[a，b]上的凸函数，它的几何意义是
函数在区间[a，b]上的图象是上凸的
由此判断，y=sinx，x∈[-

π

2

，0]上的图象是下凹的，不符合题意，故A不正确；
y=2-x²，x∈[0，2]上的图象是开口向下的抛物线，符合上凸，故B正确；
y=x²-x，x∈[-2，1]上的图象是开口向上的抛物线，不符合题意，故C不正确；
y=x²，x∈[0，2]上的图象是开口向上的抛物线，不符合题意，故D不正确；
故选B

点评：本题考查了函数的凹凸性及其几何意义，属于中档题．解题的关键是读懂题中的式子，将其转化为几何图象．