Question

如图，四边形ABCD中，△ABC为正三角形，AD=AB=2，BD=2

3

，AC与BD交于O点．将△ABC沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ABC内．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若θ=

π

3

时，求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，可证AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用θ=

π

3

，可得二面角A-PB-D的余弦值．

解答：解：（1）证明：由题意，O为BD的中点，则AC⊥BD，
又AC⊥PO，BD∩PO=O，
所以AC⊥平面PBD；
（2）因为AC⊥面PBD，而AC⊆面ABCD，所以面ABCD⊥面PBD，
则P点在面ABCD上的射影点在交线BD上（即在射线OD上），
所以PO与平面ABCD所成的角θ=∠POD=

π

3

．
以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建空间直角坐标系．
则A(1，0，0)，B(0，

3

，0)，P(0，-

3

2

，

3

2

)，
因为AC⊥面PBD，所以面PBD的法向量

n1

=

OA

=(1，0，0)，
设面PAB的法向量

n2

=(x，y，z)，又

AB

=(-1，

3

，0)，
由

n2

⊥

AB

，得-x+

3

y=0①，又

PB

=(0，

3 3

2

，-

3

2

)，
由

n2

⊥

PB

，得

3 3

2

y-

3

2

z=0②，
在①②中令y=

3

，可得x=z=3，故

n2

=(3，

3

，3)
所以二面角A-PB-D的余弦值cosθ=

3

1× 9+3+9

=

3

21

=

21

7

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．