Question

（1）现已画出偶函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补全函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）（x∈R）的递增区间；
（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若方程f（x）-a=0有两个不等是实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用偶函数的图象关于y轴对称的性质即可画出；
（2）当x≥0时，由图象可知：二次函数有两个零点0，2，且对称轴为x=1，最小值为y=-1．可得解析式为：f（x）=a（x-1）²-1，把x=0代入可得0=a-1，解得a即可．
利用偶函数的性质：当x＜0时，-x＞0，由于f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x．可得f（x）=f（-x）．
（3）由（2）函数f（x）的值域为[-1，+∞），再利用图象可得：当a=-1和a＞0时，方程f（x）-a=0有两个不等是实数根，可得a的取值范围．

解答：解：（1）利用偶函数的图象关于y轴对称的性质可得：如图所示，
（2）当x≥0时，由图象可知：二次函数有两个零点0，2，且对称轴为
x=1，最小值为y=-1．可得解析式为：f（x）=a（x-1）²-1，
把x=0代入可得0=a-1，解得a=1．
∴f（x）=（x-1）²-1=x²-2x．
利用偶函数的性质：当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x．
∴f（x）=f（-x）=x²+2x．
综上可得函数f（x）=

x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0

．
（3）由（2）函数f（x）的值域为[-1，+∞），再利用图象可得：当a=-1和a＞0时，方程f（x）-a=0有两个不等是实数根，故a的取值范围是{a|a=-1或a＞0}．

点评：本题考查了函数的奇偶性、二次函数的解析式、分段函数的解析式、图象的交点与方程的零点之间的关系，考查了数形结合的思想方法，属于难题．