Question

17．设f（x）和g（x）的图象在[a，b]上是连续不断的，且f（a）＜g（a），f（b）＞g（b），试证明：在（a，b）内至少存在一点x₀，使f（x₀）=g（x₀）．

Answer 1

分析 构造函数F（x）=f（x）-g（x），根据题意得F（a）=f（a）-g（a）＜0，F（b）=f（b）-g（b）＞0，得出F（a）•F（b）＜0，命题得证．

解答 证明：构造函数F（x）=f（x）-g（x），
因为f（x），g（x）的图象在[a，b]上是连续不断的，
所以F（x）在在[a，b]上也是连续不断的，
由于f（a）＜g（a），f（b）＞g（b），
所以，F（a）=f（a）-g（a）＜0，F（b）=f（b）-g（b）＞0，
所以，F（a）•F（b）＜0，
因此，在区间（a，b）内必存在一点x₀使得F（x₀）=0，
即f（x₀）=g（x₀），即证．

点评 本题主要考查了函数零点的判断和证明，涉及函数零点的存在性定理，以及运用构造法，综合法证明问题，属于中档题．