设函数F(x )=x2+aln(x+1)
(I)若函数y=f(x)在区间[1,+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
(II)若函数y=f(x)有两个极值点x1,x2且
，求证:
.
（Ⅰ）
； (II)见解析.
解析试题分析：（Ⅰ）利用导数，先对函数进行求导，让
，在[1,+∞）上是恒成立的，求解可得a的取值范围；(II)令
，依题意方程
在区间
有两个不等的实根，记
，则有
，得
，然后找
的表达式，利用导数求此函数单调性，可得结论.
试题解析：（Ⅰ）在区间
上恒成立，
即
区间上恒成立， 1分
. 3分
经检验， 当
时，
，
时，
，
所以满足题意的a的取值范围为. 4分
（Ⅱ）函数的定义域，，依题意方程在区间有两个不等的实根，记，则有，得. 6分
法一：
，
，
，
，令
， 8分
，
，
,
因为
，存在
，使得
，
- 0 + 
，
，
，所以函数
在
为减函数， 10分
即
12分
法二:6分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分.
【证法2】
为方程
的解，所以
,
∵
，
，
，∴
芒果教辅暑假天地重庆出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(其中c<3)，其导函数
的图象如图，f(x)=6lnx+h(x).
①求f(x)在x=3处的切线斜率；
②若f(x)在区间(m,m+
)上是单调函数，求实数m的取值范围；
③若对任意k∈[-1,1]，函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求c的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的极大值.
（Ⅱ）求证：存在
，使
；
（Ⅲ）对于函数
与
定义域内的任意实数x，若存在常数k,b,使得
和
都成立，则称直线
为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k,b的值；若不存在，请说明理由.
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(
)．
的单调区间；
（
）的单调性证明：当
时，
；
,且
均为正实数, 
时，
．
，
.
，求函数
在区间
上的最值；
恒成立，求
的取值范围.
是自然对数的底数
，
，且函数
在点
处的切线方程为
.
，当
时，直线
的斜率恒小于
，试求实数
.
，它的一个极值点是
．
的值及
的值域；
，试求函数
的零点的个数．
，其中
．
，求曲线
在点
处的切线方程；
在区间
上的最大值和最小值．
．若
，求
的值；当
时，求
的单调区间．