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    （本题满分14分）

    在数列中，已知．

    （1）求数列的通项公式；

    （2）求数列的前项和.

     

    【答案】

    、

    （1）

    （3）数列的前项和

    【解析】

    解：（1）解法1：由

    可得，------------------------------3分

    ∴数列是首项为，公差为1等差数列，

    ∴， -----------------6分

    ∴数列的通项公式为．-----------------------7分

    解法2：由

    可得-------------------------2分

    令，则---------------------3分

    ∴当时

    ----5分

    ∴

    --------------------------------6分

    ∴-------------------------------7分

    解法3：∵， -------------1分

    ，-----------------------------------2分

    ．---------------------------3分

    由此可猜想出数列的通项公式为．----------------4分

    以下用数学归纳法证明．

    ①当时，，等式成立．

    ②假设当（）时等式成立，即，

    那么

    ．--------------------------------6分

    这就是说，当时等式也成立．根据①和②可知，等式对任何都成立．-------------------------------7分

    （2）令， ------①-----8分

    　　------②------9分

    ①式减去②式得：

    ，-------10分

    ∴．------------------12分

    ∴数列的前项和

     

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    π
    3
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