Question

（2011•蓝山县模拟）已知{a_n}为等比数列，a₁=1，前n项和为S_n，且

S6

S3

=28，数列{b_n}的前n项和为T_n，且点（n，T_n）均在抛物线y=

1

2

x2+

1

2

x上．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S′_n．

Answer 1

分析：（1）设等比数列的公比为q，则由

S6

S3

=28可知q≠1，利用等比数列的求和公式可得q=3，从而可求{a_n}的通项公式；
根据数列{b_n}的前n项和为T_n，且点（n，T_n）均在抛物线y=

1

2

x2+

1

2

x上，可得Tn=

1

2

n2+

1

2

n，当n≥2时，利用b_n=T_n-T_n-1，即可求出{b_n}的通项公式；
（2）根据c_n=a_n•b_n=n•3^n-1，可知S'_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，利用错位相减法，可求{c_n}的前n项和S′_n．

解答：解：（1）设等比数列的公比为q，则由

S6

S3

=28可知q≠1
∵

S6

S3

=28，∴

1-q6

1-q3

=1+q3=28，∴q=3
∵a₁=1，∴an=3n-1
∵数列{b_n}的前n项和为T_n，且点（n，T_n）均在抛物线y=

1

2

x2+

1

2

x上
∴Tn=

1

2

n2+

1

2

n
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1= (

1

2

n2+

1

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)]=n
∵b₁=T₁=1
∴b_n=n
（2）∵c_n=a_n•b_n=n•3^n-1，∴S'_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，
∴3S'_n=1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
两式相减，得-2S'_n=1•3⁰+1•3¹+1•3²+…+1•3^n-1-n•3ⁿ=

1-3n

1-3

-n•3ⁿ=

3n-1

2

-n•3ⁿ=

(1-2n)3n-1

2

，
得  S'_n=

(2n-1)3n+1

4

．

点评：本题考查数列的通项与前n项和，考查等差数列与等比数列，考查错位相减法，掌握基本方法是关键．