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    【题目】已知椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于长轴的弦长为．

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明：为定值．

    【答案】（1）（2）详见解析

    【解析】

    试题分析：（1）过左焦点且垂直于长轴的弦长为通径长，即，又离心率为，得，再由，解方程组得（2）解析几何中证明定值问题，一般方法为以算代证，因为，利用，消y得，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，代入化简得定值41

    试题解析：（1）由，可得椭圆方程．．．．．．．．．．4分

    （2）设的方程为，代入并整理得：

    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

    设，则，

    又因为，同理．．．．．．．．．．．．．．8分

    则，

    所以是定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

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    【题目】在直角坐标系中，曲线：与直线（）交于，两点．

    （1）当时，分别求在点和处的切线方程；

    （2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．

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    【题目】如图所示，四棱锥中，四边形是直角梯形， 底面， 为的中点， 点在上，且.

    (1)证明： 平面；

    (2)求直线与平面所成角的正弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另外15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另外30人比较粗心.

    （1）试根据上述数据完成列联表；

    数学成绩及格

    数学成绩不及格

    合计

    比较细心

    45

    比较粗心

    合计

    60

    100

    （2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系？

    参考数据：独立检验随机变量的临界值参考表：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    ，其中

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在各棱长为的直四棱柱中，底面为棱形， 为棱上一点，且

    （1）求证：平面平面；

    （2）平面将四棱柱分成上、下两部分，求这两部分的体积之比.

    （棱台的体积公式为，其中分别为上、下底面面积， 为棱台的高）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设函数.

    （Ⅰ）若在处的切线与直线平行，求的值；

    （Ⅱ）讨论函数的单调区间；

    （Ⅲ）若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数.

    （Ⅰ）求函数的单调递减区间；

    （Ⅱ）求函数在区间上的最大值及最小值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】对于函数有如下结论：

    ①该函数为偶函数；

    ②若，则；

    ③其单调递增区间是；

    ④值域是；

    ⑤该函数的图象与直线有且只有一个公共点．（本题中是自然对数的底数）

    其中正确的是__________．（请把正确结论的序号填在横线上）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形， 为的中点.

    (1)求证： 平面；

    (2)若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.

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