Question

已如点M（1，0）及双曲线

x2

3

-y2=1的右支上两动点A，B，当∠AMB最大时，它的余弦值为（　　）

A．- 1 2

B． 1 2

C．- 1 3

D． 1 3

Answer 1

根据题意，当直线MA与双曲线相切于点A，直线MB与双曲线相切于点B时，
∠AMB取得最大值．
设直线AM方程为y=k（x-1），与双曲线消去y，得
（

1

3

-k²）x²+2k²x-k²-1=0
∵直线MA与双曲线相切于点A，
∴（2k²）²-4×（

1

3

-k²）×（-k²-1）=0，解之得k=

2

2

（舍负）
因此，直线AM方程为y=

2

2

（x-1），
同理直线BM方程为y=-

2

2

（x-1），
设直线AM倾斜角为θ，得tanθ=

2

2

，且∠AMB=2θ
∴cos2θ=

1-tan2θ

1+tan2θ

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，即为∠AMB最大时的余弦值
故选：D