Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ=a（a＞0），Q为l上一点，以OQ为边作等边三角形OPQ，且O、P、Q三点按逆时针方向排列．
（Ⅰ）当点Q在l上运动时，求点P运动轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C：x2+y2=a2 ， 经过伸缩变换 得到曲线C′，试判断点P的轨迹与曲线C′是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点P的坐标为 （ρ，θ），则由题意可得点Q的坐标为 ，

再由点Q的横坐标等于a，a＞0，可得 ，

可得 ，

故当点Q在l上运动时点P的直角坐标方程为 ．

（Ⅱ）曲线C：x2+y2=a2，

伸缩变换即： ，代入整理可得： ，

联立点P的轨迹方程，消去x得 ，

∵a＞0，∴△＞0，有交点，坐标分别为 ．

【解析】（1）设出动点P的坐标，由题意得出Q的坐标，根据题意得出极坐标方程，再把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）得出曲线C的方程经伸缩变换后的方程，联立P的轨迹方程，得出交点坐标.