Question

5．如图，在三棱锥A-BCD中，底面BCD是边长为2的等边三角形，侧棱AB=AD=$\sqrt{2}$，AC=2，O、E、F分别是BD、BC、AC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABD；
（2）求证：AO⊥平面BCD；
（3）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出EF∥AB，由此能证明EF∥平面ABD．
（2）推导出AO⊥BD，AO⊥OC，由此能证明AO⊥平面BCD．
（3）连接OE，则∠OEF（或其补角）为异面直线AB与CD所成角，由此能求出异面直线AB与CD所成角的余弦值．

解答 证明：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF∥AB，
∵EF?平面ABD，AB?平面ABD，
∴EF∥平面ABD．（3分）
（2）∵底面BCD是边长为2的等边三角形，O是BD的中点，
∴AO⊥BD①
又AO=1，AC=2，OC=$\sqrt{3}$，∴AO²+OC²=AC²，
故AO⊥OC②，又OC∩BD=O，③
由①②③得AO⊥平面BCD．（7分）
解：（3）连接OE，则∠OEF（或其补角）为异面直线AB与CD所成角，
由（1）知，在Rt△AOC中，OF=$\frac{1}{2}$AC=1，
又EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OE=$\frac{1}{2}$DC=1
在△EOF中，由余弦定理得到：
cos∠OEF=$\frac{1+\frac{1}{2}-1}{2×1×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．（12分）

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．