Question

已知定义在R上的二次函数R（x）=ax²+bx（a＞0）是偶函数，函数f（x）=2lnx-R（x）．
（I）求f（x）的单调区间；  
（II）当a≤1时，若x₀∈[1，2]，求f（x₀）的最大值；
（III）若二次函数R（x）图象过（1，1）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x₁，y₁），当x₁=

1

e

时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x₂，y₂）（x₂＞1），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）

Answer 1

分析：（I）根据二次函数的图象和性质及偶函数的图象关于Y轴对称，可求出函数f（x）的解析式，进而利用导数法，可求出f（x）的单调区间；  
（II）由（I）中结论中函数f（x）的单调性，可得x=

a

a

是函数f（x）的极小值点，对a分类讨论可得x₀∈[1，2]，求f（x₀）的最大值；
（III）由函数R（x）图象过（1，1）点，可求出a值，确定函数f（x）的解析式，构造函数g（x）=f（x）-f（

1

e

），分析函数零点是否存在可得答案．

解答：解：（I）∵定义在R上的二次函数R（x）=ax²+bx（a＞0）是偶函数，
∴函数的对称轴x=

b

2a

=0，即b=0，
∴R（x）=ax²，
∴f（x）=2lnx-ax²的定义域为（0，+∞）
∴f′（x）=

2(1-ax2)

x

，
令f′（x）＞0，则0＜x＜

a

a

令f′（x）＜0，则x＞

a

a

∴f（x）的单调递增区间为（0，

a

a

），单调递减区间为（

a

a

，+∞）
（II）由（1）得f（x）的单调递增区间为（0，

a

a

），单调递减区间为（

a

a

，+∞）
∴x=

a

a

是函数f（x）的极小值点
∵0＜a≤1
∴

a

a

≥1
当

a

a

≥2，即0＜a≤

1

4

，f（x）在区间[1，2]上递增，则f（x₀）的最大值为f（2）=2ln2-4a
当1≤

a

a

＜2，即

1

4

＜a≤1，则f（x₀）的最大值为f（

a

a

）=-lna-1
（III）∵二次函数R（x）图象过（1，1）点，则a=1
则f（x）=2lnx-x²（x＞0）
由（1）可知f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）
令g（x）=f（x）-f（

1

e

）=2lnx-x²-（-2-

1

e2

）
由题意可知g（x）在（1，+∞）上必存在零点
又由g（x）单调性与f（x）相同，故g（x）在（1，+∞）上单调递减
g（1）=-1-（-2-

1

e2

）=1+

1

e2

＞0
g（e）=2-e²-（-2-

1

e2

）=4+

1

e2

-e²＜0
故存在点B使A、B连线平行于x轴

点评：本题考查的知识点是函数的单调性及单调区间，二次函数在闭区间上的最值，函数的零点，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．