Question

若过点A（a，a）可作圆x²+y²-2ax+a²+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围是

（-∞，-3）∪（1，

3

2

）

．

Answer 1

分析：把已知圆的方程化为标准方程，找出圆心P的坐标和圆的半径r，并根据二元二次方程构成圆的条件可得a的范围，利用两点间的距离公式求出|AP|的值，由过A可作圆的两条切线，得到点A在圆P外，可得|AP|的值大于圆的半径r，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，与求出的a的范围求出并集，可得满足题意a的取值范围．

解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x-a）²+y²=3-2a，
可得圆心P坐标为（a，0），半径r=

3-2a

，且3-2a＞0，即a＜

3

2

，
由题意可得点A在圆外，即|AP|=

(a-a)2+(a-0)2

＞r=

3-2a

，
即有a²＞3-2a，整理得：a²+2a-3＞0，即（a+3）（a-1）＞0，
解得：a＜-3或a＞1，又a＜

3

2

，
可得a＜-3或 1＜a＜

3

2

，
则实数a的取值范围是（-∞，-3）∪（1，

3

2

）
故答案为：（-∞，-3）∪（1，

3

2

）

点评：此题考查了点与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，二元二次方程构成圆的条件，以及不等式的解法，点与圆的位置关系由这点到圆心的距离d与半径r的大小关系来确定：当d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外；d＜r，点在圆内．