Question

已知f（x）是定义在R上的单调函数，对任意的实数m，n总有：f（m+n）=f（m）•f（n）且x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）证明：f（0）=1且x＜0时f（x）＞1；
（2）当f（4）=

1

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，求使f（x²-1）•f（a-2x）≤

1

4

对任意实数x恒成立的参数a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,抽象函数及其应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）在f（m+n）=f（m）•f（n）中，取m＞0，n=0，可求f（0）=1；设m=x＜0，n=-x＞0，可得f（x）=

1

f(-x)

＞1；
（2）确定f（x）是定义域R上的单调递减函数，f（x²-1）•f（a-2x）≤

1

4

对任意实数x恒成立，转化为x²-1+a-2x≥2对任意实数x恒成立，即可得出结论．

解答： （1）证明：在f（m+n）=f（m）•f（n）中，取m＞0，n=0，有f（m）=f（m）•f（0），
∵x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（0）=1
又设m=x＜0，n=-x＞0，则0＜f（-x）＜1，
∴f（m+n）=f（0）=f（x）•f（-x）=1，
∴f（x）=

1

f(-x)

＞1，即x＜0时，f（x）＞1
（2）解：f（x）是定义在R上的单调函数，f（0）=1，f（4）=

1

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，
∴f（x）是定义域R上的单调递减函数．
f（4）=f²（2）=

1

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，且由（1）可知f（x）＞0，
∴f（2）=

1

4

，
∵f（x²-1）•f（a-2x）≤

1

4

对任意实数x恒成立，
∴x²-1+a-2x≥2对任意实数x恒成立，
∴△=4-4（a-3）≤0，
∴a≥4．

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查恒成立，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．