Question

14．已知函数$f（x）=\frac{x}{3x+1}$，数列{a_n}满足${a_1}=1，{a_{n+1}}=f（{a_n}）（n∈{N^*}）$．
（1）求证：数列{$\frac{1}{a_n}$}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知利用函数性质得${a}_{n+1}=f（{a}_{n}）=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，从而$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=3+$\frac{1}{{a}_{n}}$，由此能证明数列{$\frac{1}{a_n}$}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，能求出a_n．
（3）a_na_n+1=$\frac{1}{3n-2}×\frac{1}{3n+1}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），利用裂项求和法能求出S_n．

解答 （1）证明：∵函数$f（x）=\frac{x}{3x+1}$，数列{a_n}满足${a_1}=1，{a_{n+1}}=f（{a_n}）（n∈{N^*}）$，
∴${a}_{n+1}=f（{a}_{n}）=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=3+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=3，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{a_n}$}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）解：∵数列{$\frac{1}{a_n}$}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$．
（3）解：∵a_na_n+1=$\frac{1}{3n-2}×\frac{1}{3n+1}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}-\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}-\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$
=$\frac{n}{3n+1}$．

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．