Question

6．设数列{a_n}为等比数列，则下面四个数列中一定是等比数列的有（　　）
①{a_n³}
②{pa_n}（p为非零常数）
③{a_n•a_n+1} 
④{a_n+a_n+1}．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由数列{a_n}为等比数列，利用等比数列的性质和定义求解．

解答 解：由数列{a_n}为等比数列，知：
在①中，∵$\frac{{{a}_{n+1}}^{3}}{{{a}_{n}}^{3}}$=$\frac{{{a}_{1}}^{3}{q}^{3n}}{{{a}_{1}}^{3}{q}^{3n-3}}$=q³，∴{a_n³}是等比数列，故①成立； 
在②中，∵$\frac{p{a}_{n+1}}{p{a}_{n}}$=$\frac{p（{a}_{1}{q}^{n}）}{p（{a}_{1}{q}^{n-1}）}$=q，∴{pa_n}（p为非零常数）是等比数列，故②成立；
在③中，∵$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{n}{a}_{1}{q}^{n+1}}{{a}_{1}{q}^{n-1}{a}_{1}{q}^{n}}$=q²，∴{a_n•a_n+1} 是等比数列，故③成立；
在④中，∵$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n+2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{n}+{a}_{1}{q}^{n+1}}{{a}_{1}{q}^{n-1}+{a}_{1}{q}^{n}}$=q，
当数列为-1，1，-1，1…时不成立，
∴{a_n+a_n+1}不一定是等比数列，故④不成立．
故选：C．

点评 本题考查等比数列的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质及定义的合理运用．