Question

6．在△ABC中，AB=2AC=2，AD是BC边上的中线，记∠CAD=α，∠BAD=β．
（1）求sinα：sinβ；
（2）若tanα=sin∠BAC，求BC．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得$\frac{BD}{sinβ}$=$\frac{2}{sin∠ADB}$，$\frac{CD}{sinα}=\frac{1}{sin∠ADC}$，由此能求出sinα：sinβ的值．
（2）由sinβ=$\frac{1}{2}sinα$，cosβ=$\sqrt{1-\frac{1}{4}si{n}^{2}α}$，tanα=sin∠BAC=sin（α+β）得cosα=$\sqrt{\frac{4}{7}}$，sinα=$\sqrt{\frac{3}{7}}$，从而得到cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，由此利用余弦定理能求出BC．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=2AC=2，AD是BC边上的中线，记∠CAD=α，∠BAD=β，
∴$\frac{BD}{sinβ}$=$\frac{2}{sin∠ADB}$，$\frac{CD}{sinα}=\frac{1}{sin∠ADC}$，
∴sin$β=\frac{1}{2}BDsin∠ADB$，sinα=CDsin∠ADC，
∵BD=CD，sin∠ADB=sin∠ADC，
∴sinα：sinβ=CDsin∠ADC：$\frac{1}{2}BDsin∠ADB$=2：1．
（2）由（1）得sinβ=$\frac{1}{2}sinα$，cosβ=$\sqrt{1-\frac{1}{4}si{n}^{2}α}$，
∴tanα=sin∠BAC=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
=sinα$\sqrt{1-\frac{1}{4}si{n}^{2}α}$+$\frac{1}{2}sinαcosα$，
∴$\frac{1}{cosα}=\sqrt{1-\frac{si{n}^{2}α}{4}+\frac{1}{2}cosα}$=$\frac{\sqrt{3+co{s}^{2}α}+cosα}{2}$，
∴cos²α+cosα$\sqrt{3+co{s}^{2}α}$=2，解得cosα=$\sqrt{\frac{4}{7}}$，或cosα=-$\sqrt{\frac{4}{7}}$（舍），sinα=$\sqrt{\frac{3}{7}}$，
∴sin∠BAC=$\frac{\sqrt{\frac{3}{7}}}{\sqrt{\frac{4}{7}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查两角正弦值的比值的求法，考查三角形边长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的合理运用．