Question

12．已知直线l₁：ax-2y=2a-4与l₂：2x+a²y=2a²+4．
（1）求证：直线l₁与l₂都过同一个定点．
（2）当0＜a＜2时，l₁，l₂与两坐标轴围成一个四边形，问：a取何值时，这个四边形的面积最小？求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）把所给的两个直线的方程进行整理，把含有字母a的部分都分开，提出a，得到一个直线的方程，把两个方程联立得到结果．
（2）求出直线与坐标轴的交点，把一个四边形转化成两个三角形，根据底边和高得到三角形的面积，表示出面积，根据二次函数的性质得到结果．

解答 证明：（1）由l₁：ax-2y-2a+4=0变形得：
a（x-2）-2y+4=0，
所以，当x=2时，y=2，
即直l₁过定点（2，2）．
由l₂：2x+a²y-2a²-4=0变形得a²（y-2）+2x-4=0，
所以当y=2时，x=2，
即直线l₂过定点（2，2），
（2）如图示：
直线l₁与y轴交点为A（0，2-a），直线l₂与x轴交点为B（a²+2，0），如图：
由直线l₁：ax-2y-2a+4=0知，直线l₁也过定点C（2，2），
过C点作x轴垂线，垂足为D，于是：
S_{四边形AOBC}=S_梯形AODC+S_△BCD
=$\frac{1}{2}$（2-a+2）•2+$\frac{1}{2}$a²•2
=a²-a+4，
∴当a=$\frac{1}{2}$时，S_{四边形AOBC}最小．
故当a=$\frac{1}{2}$时，所围成的四边形面积最小值为：$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查过顶点的直线和四边形的面积的最值，本题解题的关键是表示出面积，在立体几何和解析几何中，不论求什么图形的面积一般都要表示出结果，再用函数的最值来求．