精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=2,任取a、b∈[-1,1],a+b≠0,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0成立
(1)判断f(x)的单调性,并说明理由;     
(2)解不等式f(x)<f(
1
x+1
)

(3)若f(x)≤2m2-2am+3对所有的m∈[0,3]恒成立,求a的范围.
分析:(1)利用题目给出的等式及函数单调性的定义判断函数f(x)的单调性;
(2)在保证不等式本身有意义的前提下,运用(1)判明的函数f(x)的增减性脱掉对应关系求解不等式;
(3)先求出函数f(x)在[-1,1]上的最大值,代入不等式后得到新不等式,然后借助于分离变量法求实数a的取值范围.
解答:解:(1)取a=x1,b=-x2∈[-1,1],且x1>x2,则x1-x2=a+b>0,
因为f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,则f(a)+f(b)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2),
所以f(x1)-f(x2)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x1-x2)
=
f(a)+f(b)
a+b
(a+b)>0
,所以f(x1)>f(x2
所以函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数.
(2)因为f(x)是定义在[-1,1],且函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,
所以f(x)<f(
1
x+1
)
?
-1≤x≤1
-1≤
1
x+1
≤1
x<
1
x+1
,解得:0≤x<
5
-1
2

所以不等式f(x)<f(
1
x+1
)
的解集为[0,
5
-1
2

(3)因为函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,
所以在[-1,1]上函数f(x)的最大值为f(1)=2,
若f(x)≤2m2-2am+3对所有的m∈[0,3]恒成立,即2≤2m2-2am+3对所有的m∈[0,3]恒成立,
也就是2m2-2am+1≥0恒成立,
分离变量得:a≤m+
1
2m
恒成立,
因为m+
1
2m
≥2
1
2m
=
2
(当且仅当m=
2
2
时取等号)
所以a≤
2

所以所求a的范围是(-∞,
2
].
点评:本题考查了函数的单调性与奇偶性的结合,考查了运用单调性求解不等式的方法,训练了运用分离变量法求解恒成立的问题,同时训练了利用基本不等式求函数的最值,是一个非常好的综合题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)是定义在(-4,4)上的奇函数,它在定义域内单调递减 若a满足f(1-a)+f(2a-3)小于0,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)证明函数a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函数;
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
对所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求实数x=1的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

8、已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2009)=(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}=(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,设a=f(log47),b=f(log
12
3)
,c=f(0.2-0.6),则a,b,c的大小关系
a>b>c
a>b>c

查看答案和解析>>

同步练习册答案