Question

对于函数f(x)，若存在x₀∈R，使?f(x₀)?=x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点，已知函数?f(x)?=ax²+?(b+1)x+(b-1)(a≠0).??

(1)当a=1,b=-2时，求函数f(x)的不动点；?

(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；?

(3)在(2)的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值.

Answer 1

解析:（1）当a=1,b=-2时，f(x)=x²-x-3.?

由题意可知x=x²-x-3,得x₁=-1,x₂=3.?

故当a=1,b=-2时，f(x)的两个不动点为(-1，-1)和(3,3).?

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有两个不动点，?

∴x=ax²+(b+1)x+(b-1),即ax²+bx+(b-1)=0恒有两个相异的实数根，可知Δ=b²-4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.于是有Δ′=(4a)²-16a＜0,解之得?0＜a＜1.??

故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围是0＜a＜1.?

（3）由题意，A、B两点应在直线y=x上，设A(x₁,x₁),?B(x₂,x₂).??

∵点A、B关于直线y=kx+对称，

∴k=-1.?

设AB的中点为M(x′,y′),?

∵x₁、x₂是方程ax²+bx+(b-1)=0的两个根,?

∴x′=y′= =-.于是，由M在直线y=-x+上，得-=+,即?

b=-=-.?

∵a＞0,

∴2a+ ≥2.?

当且仅当2a=,即a=∈(0,1)时取等号.?

故b≥-.∴b_min=-.