Question

1．侧棱长为4，底面边长为$\sqrt{3}$的正三棱柱均在同一球面上，则该球表面积为24π．

Answer 1

分析 根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．

解答 解：由正三棱柱的底面边长为$\sqrt{3}$，
得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=1，
又由正三棱柱的侧棱长为4，则球心到圆O的球心距d=$\sqrt{5}$，
根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，
满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R²=r²+d²=6，R=$\sqrt{6}$，
∴外接球的表面积S=4πR²=24π
故答案为：24π．

点评 本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．