Question

已知函数f(x)=ax²+4(a为非零实数),设函数F(x)=
(1)若f(-2)=0,求F(x)的表达式.
(2)在(1)的条件下,解不等式1≤|F(x)|≤2.
(3)设mn<0,m+n>0,试判断F(m)+F(n)能否大于0?

Answer 1

(1)F(x)=
(2){x|≤x≤或≤x≤或-≤x≤-或-≤x≤-}
(3)当a>0时,F(m)+F(n)能大于0,
当a<0时,F(m)+F(n)不能大于0.

(1)因为f(-2)=0,所以4a+4=0,得a=-1,
所以f(x)=-x²+4,
F(x)=
(2)因为|F(-x)|=|F(x)|,所以|F(x)|是偶函数,
故可以先求x>0的情况.
当x>0时,由|F(2)|=0,故当0<x≤2时,
解不等式1≤-x²+4≤2,得≤x≤;
x>2时,解不等式1≤x²-4≤2,得≤x≤;
综合上述可知原不等式的解集为
{x|≤x≤或≤x≤或-≤x≤-或-≤x≤-}.
(3)因为f(x)=ax²+4,
所以F(x)=
因为mn<0,不妨设m>0,则n<0,又m+n>0,
所以m>-n>0,所以m²>n²,
所以F(m)+F(n)=am²+4-an²-4=a(m²-n²),
所以当a>0时,F(m)+F(n)能大于0,
当a<0时,F(m)+F(n)不能大于0.