【题目】已知函数在定义域内有两个不同的极值点.
()求的取值范围.
()记两个极值点, ,且,已知,若不等式恒成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由导数与极值的关系知可转化为方程在有两个不同根;再转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点;(2)原式等价于,令, ,则不等式在上恒成立,令, ,根据函数的单调性求出即可.
试题解析:()由函数得的定义域为,且,
若函数在定义域内有两个不同的极值点,则方程,
即有两个不同的根,
即函数与函数的图象在上有两个不同的交点,
如图所示:
若令过原点且切于函数图象的直线斜率为,只须,
令切点,则,
又,
∴,解得, ,∴,
∴的取值范围是.
()因为等价于,
由()可知, , 分别是方程的两个根,即, ,
所以原式等价于,
∵, ,
∴原式等价于,
又由, 作差得,
∴原式等价于,
∵,原式恒成立,
即恒成立,
令, ,则不等式在上恒成立,
令, ,
则,
当时,可见时, ,
故在上单调递增,
又, 在上恒成立,符合题意;
当时,可见时, ;
时, ,
∴在时单调递增,在时单调减,
又,故在上不可能恒小于,不符合题意,
综上所述,若不等式恒成立,只须,
又,故.
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【题目】如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=PA=2,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.
(1)求证:BE∥平面PDF;
(2)求证:平面PDF⊥平面PAB;
(3)求BE与平面PAC所成的角.
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【题目】寒冷的冬天,某高中一组学生来到一大棚蔬菜基地,研究种子发芽与温度控制技术的关系,他们分别记录五组平均温度及种子的发芽数,得到如下数据:
平均温度() | 11 | 10 | 13 | 9 | 12 |
发芽数(颗) | 25 | 23 | 30 | 16 | 26 |
(Ⅰ)若从五组数据中选取两组数据,求这两组数据平均温度相差不超过概率;
(Ⅱ)求关于的线性回归方程;
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(Ⅱ)屮所得的线性回归方程是否可靠?
(注: , )
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【题目】已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,椭圆与直线相切于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线: 与椭圆相交于、两点(, 不是长轴端点),且以为直径的圆过椭圆在轴正半轴上的顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中, 是坐标原点,设函数的图象为直线,且与轴、轴分别交于、两点,给出下列四个命题:
①存在正实数,使的面积为的直线仅有一条;
②存在正实数,使的面积为的直线仅有二条;
③存在正实数,使的面积为的直线仅有三条;
④存在正实数,使的面积为的直线仅有四条.
其中,所有真命题的序号是( ).
A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③④
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【题目】在锐角中,, _______,求的周长的取值范围.
①,,且;
②;
③,.
注:这三个条件中选一个,补充在上面的问题中并对其进行求解,如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
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【题目】已知的内角成等差数列,且所对的边分别为,则有下列四个命题:
①;
②若成等比数列,则为等边三角形;
③若,则为锐角三角形;
④若,则.
则以上命题中正确的有________________.( 把所有正确的命题序号都填在横线上 ).
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【题目】某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者,工艺品的平面设计如图所示,该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成,点为半圈上一点(异于,),点在线段上,且满足.已知,,设.
(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果,需满足,且达到最大.当为何值时,工艺礼品达到最佳观赏效果;
(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏,需满足,且达到最大.当为何值时,取得最大值,并求该最大值.
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【题目】【2018河南豫南九校高三下学期第一次联考】设函数.
(I)当时, 恒成立,求的范围;
(II)若在处的切线为,且方程恰有两解,求实数的取值范围.
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