Question

如图，已知三棱锥P－ABC是正三棱锥，求证：

(1)它的各个侧面与底面所成的角相等；

(2)正三棱锥底面积与侧面积S之比是各个侧面与底面所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)因三棱锥P－ABC是正三棱锥，故顶点P在底面上的射影O是底面正△ABC的中心，如图，连结AO、BO、CO，并延长分别交对边于D、E、F三点． 　　∵△ABC是正三角形，∴AD⊥BC，OD＝OE＝OF． 　　又∵PO⊥BC，∴BC⊥面PAD∴BC⊥PD 　　∴∠PDA就是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角． 　　同理，∠PEB、∠PFC分别是另两个侧面与底面所成二面角的平面角． 　　可证得Rt△PFO≌Rt△PDO≌Rt△PEO， 　　∴∠PEB＝∠PFC＝∠PDA 　　(2)由∠PEB＝∠PFC＝∠PDA， 　　∴cos∠PEB＝cos∠PFC＝cos∠PDA， 　　即cos∠PEB＝． 　　∴cos∠PEB＝． 　　思路分析：(1)本题首先要作出各个侧面与底面所成的二面角．以侧面PBC为例，取BC的中点D，连结PD、AD，则易证BC⊥PD，BC⊥AD，从而∠PDA就是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角．(2)注意侧面△PBC与其在底面上的投影△OBC是底边相等的三角形，且它们的高同在Rt△PDO中，且比例恰为侧面与底面所成角的余弦值，从而易得其面积的比例关系．

提示：

我们把△BOC称作△PBC在底面上的射影三角形．若把射影△BOC的面积记作，△PBC的面积记作S，两个三角形所在平面夹角为，则可以得到这样一个结论：cos＝．运用这个结论，可以解决二面角的平面角特别是图形中无棱的二面角的平面角的探求问题(在解答题中，一般需先给予证明)．