Question

11．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得a+b=1，然后利用基本不等式求得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{3x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
由z=ax+by（a＞0，b＞0），得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，z_max=a+b=1．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（a+b）=5+$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$$≥5+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}=9$．
当且仅当2a=b，即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时上式等号成立．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．