Question

已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+

y2

2

=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-

2

的直线l与C交于A、B两点，点P满足

OA

+

OB

+

OP

=

0

．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

Answer 1

分析：（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程x2+

y2

2

=1，根据已知中过F且斜率为-

2

的直线l与C交于A、B两点，点P满足

OA

+

OB

+

OP

=

0

，我们求出点P的坐标，代入验证即可．
（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．

解答：证明：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
椭圆C：x2+

y2

2

=1  ①，则直线AB的方程为：y=-

2

x+1  ②
联立方程可得4x²-2

2

x-1=0，
则x₁+x₂=

2

2

，x₁×x₂=-

1

4

则y₁+y₂=-

2

（x₁+x₂）+2=1
设P（p₁，p₂），
则有：

0A

=（x₁，y₁），

0B

=（x₂，y₂），

0P

=（p₁，p₂）；
∴

0A

+

0B

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（

2

2

，1）；

0P

=（p₁，p₂）=-（

0A

+

0B

）=（-

2

2

，-1）
∴p的坐标为（-

2

2

，-1）代入①方程成立，所以点P在C上．

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
设线段AB的中点坐标为（

x1+x2

2

，

y1+ y2

2

），即（

2

4

，

1

2

），
则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y-

1

2

=

2

2

（x-

2

4

），即y=

2

2

x+

1

4

；③
∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，
则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=-

2

2

x④；
③④联立方程组，解之得：x=-

2

8

，y=

1

8

③④的交点就是圆心O₁（-

2

8

，

1

8

），
r²=|O₁P|²=（-

2

2

-（-

2

8

））²+（-1-

1

8

）²=

3 11

8

故过P Q两点圆的方程为：（x+

2

8

）²+（y-

1

8

）²=

3 11

8

…⑤，
把y=-

2

x+1 …②代入⑤，
有x₁+x₂=

2

2

，y₁+y₂=1
∴A，B也是在圆⑤上的．
∴A、P、B、Q四点在同一圆上．

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．